Bài toán hai mặt phẳng song song

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán hai mặt phẳng song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán hai mặt phẳng song song:
VẤN ĐỀ 3. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. Định lý: Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song với (β) thì (α) song song với (β). Tính chất 1: Qua một điểm A nằm ngoài mặt phẳng (β) cho trước, có duy nhất một mặt phẳng (α) song song với (β) ⇒ Hệ quả: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Khi đó các đường thẳng đi qua A và song song với (α) cùng nằm trên mặt phẳng (β) đi qua A và song song với (α).
Tính chất 2: Cho hai mặt phắng (α) và (β) song song với nhau. Khi đó một mặt phẳng nếu cắt (α) và (β) lần lượt theo các giao tuyến a, b thì a song song với b. Phương pháp giải toán: Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau ta chứng minh hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) song song với lần lượt hai đường thẳng a′ và b′ cắt nhau nằm trong mặt phẳng (Q).
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. a) Chứng minh (OMN // SBC) b) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // SBC. Lời giải a) Ta có MO là đường trung bình trong tam giác SAC MO // AC. Mặt khác N và O lần lượt là trung điểm của SD và BD nên NO là đường trung bình trong ∆ ⇒ SBD NO // SB. Ta có: MO // SC NO // SB OMN // SBC. MO NO O SC SB S.
b) Do P và O lần lượt là trung điểm của AB và AC nên OP // AD // BC OP // SBC. Lại có ON // SB OQ // SBC. Do vậy (OPQ // SBC PQ // SBC) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. a) Chứng minh rằng (OMN // SBC) b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh rằng IJ // SAB.
Lời giải a) Ta có N và O lần lượt là trung điểm của CD và AC nên NO là đường trung bình trong ∆ ⇒ BCD NO // BC. Tương tự MO là đường trung bình trong tam giác SAC nên MO // SC. Lại có: NO // BC MO // SC OMN // SBC OM ON O BC SC S b) Ta có P và Q lần lượt là trung điểm của BC và AD thì PQ là đường thẳng cách đều AB và CD do vậy điểm J PQ. Do IQ là đường trung bình của ∆SAD nên IQ // SA. Ta có: PQ // SAB IQ // SAB IPQ // SAB. Mặt khác IJ IPQ IJ // SAB.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của BC, AB, SB và AD. a) Chứng minh rằng: (MNP // SAC) b) Chứng mình rằng: PQ // SCD. c) Gọi I là giao điểm của AM và BD; J là điểm thuộc SA sao cho AJ 2JS. Chứng minh IJ // SBC. Lời giải a) Ta có PN là đường trung bình trong ∆SAB Suy ra PN // SA. Tương tự ta có: MP // SC MNP // SAC (hai mặt phẳng có cặp cạnh song song cắt nhau).
b) Ta có: MQ // CD MPQ // SCD MP // SC. Lại có PQ MNQ PQ // SCD. c) Do I AM BD BM // AD. Theo định lý Talet ta có: MI BM 1 IA AD 2. Mặt khác: MI SJ 2 IA J SJ 1A // SM JA IJ. Do SM SBC suy ra IJ // SBC. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SA, CD. a) Chứng minh rằng (OMN // SBC) b) Tìm giao điểm I của ON và (SAB). c) Gọi G SI BM H là trọng tâm của ∆SCD. Chứng minh rằng GH // SAD. d) Gọi J là trung điểm AD E MJ. Chứng minh rằng OE // SCD.
Lời giải a) Ta có: OM là đường trung bình trong tam giác SAC suy ra OM // SC. Lại có: ON là đường trung bình trong tam giác BCD nên ON // BC. Do vậy (OMN // SBC) b) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I ON AB = ∩ khi đó I chính là giao điểm của ON và (SAB). c) Dễ thấy G, H lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SCD do đó SG SH 2 SI SN 3 ⇒ GH // IN // AD GH // SAD. d) Do O và J lần lượt là trung điểm của AC và AD nên OJ // CD (tính chất đường trung bình). Mặt khác O và M lần lượt là trung điểm của AC và SA nên OM // SC. Do vậy (OMJ // SCD OE // SCD).
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC; lấy điểm P SA. a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD). b) Tìm giao điểm SD và (MNP). c) Tìm thiết diện hình chóp và mặt phẳng (MNP). Thiết diện là hình gì? d) Gọi J MN. Chứng minh rằng OJ // SAD. Lời giải a) Do AB song song với CD nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB và CD. b) Trong mặt phẳng (SAB), kéo dài PM cắt AB tại Q, trong mặt phẳng (PMQR), kéo dài QN cắt SD tại R, giao điểm của SD và (MNP) là R.
c) Thiết diện hình chóp và mặt phẳng (MNP) là tứ giác MPRN. Do 3 mặt phẳng (MNP); (ABC); (SAD) cắt nhau theo 3 giao tuyến là PR; MN; AD nên chúng song song hoặc đồng quy. Mặt khác MN // AD MN // AD // PR ⇒ MPRN là hình thang. d) Ta có: OM là đường trung bình trong tam giác SBD OM // SD. Tương tự ta có: ON // SA OMN // SAD. Mặt khác OJ OMN OJ // SAD (điều phải chứng minh).
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, G, P, Q là trung điểm của DC, AB, SB, BG, BI. a) Chứng minh rằng (IJG // SAD) b) Chứng minh rằng PQ // SAD. c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG). d) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ACG) và (SAD). Lời giải a) Ta có IJ là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên IJ // AD l. Lại có JG là đường trung bình tam giác SAB JG // SA 2. Từ (l) và (2) suy ra (IJG // SAD).
b) Gọi E là trung điểm của JB thì B 1 BS 4 E BP // AS BA EP. Mặt khác EQ là đường trung bình cùa tam giác BIJ nên EQ // IJ EQ // AD. Ta có: EP // SA EPQ // SAD. EQ // AD. c) Trong mặt phẳng (ABC) gọi O IJ AC. Ta có: SA // JG nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG) song song với SA. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG) là đường thẳng đi qua O và song song với SA. d) Gọi K là trung điểm của SA thì GK // AB (tính chất đường trung bình). Suy ra GK // CD G, K, C, D ⇒ đồng phẳng.
Trong mặt phẳng (GKCD) gọi M ACG M DK CG. M SAD. Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (ACG) và (SAD) là AM. Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SC. a) Chứng minh rằng (MNP // SBD) b) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD). c) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD). Suy ra giao điểm của SA và (MNP). d) Gọi I AP SO J AM BD. Chứng minh rằng IJ // MNP. Lời giải a) Ta có MN là đường trung bình trong tam giác BCD nên MN // BD. Tương tự NP là đường trung bình trong tam giác SCD nên NP // SD.
Do vậy (MNP // SBD) b) Do AB // CD nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) đi qua S và song song với AB và CD. c) Gọi E MN AD. Do NP // SD nên giao tuyến ∆ của (MNP) và (SAD) đi qua E và song song với SD. Trong mặt phẳng (SAD) gọi F SA F SA MNP. d) Ta có: J AM BO J SO AP do đó I, J lần lượt là trọng tâm tam giác SAC và ABC Khi đó AI 2 MP IJ // MNP.