Bài toán hai đường thẳng song song trong không gian

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán hai đường thẳng song song trong không gian, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán hai đường thẳng song song trong không gian:
VẤN ĐỀ 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt Định nghĩa: – Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng. – Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng. – Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung Như vậy: Hai đường thẳng a và b song song với nhau xác định một mặt phẳng ký hiệu là mp(a;b) 2. Hai đường thẳng song song Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau: Định lý: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. => Hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) của hai mặt phẳng nói trên sẽ song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. d 1 d 2 d Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) Chứng minh: MN // CD. b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác SIBA là hình gì? Vì sao? Lời giải a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN // AB mặt khác AB // CD => MN // CD. b) Gọi O AC CD = ∩ và E SO ND = ∩ khi đó SE cắt SC tại P. Xét 3 mặt phẳng (SAB);(SCD) và (ABCD) có các giao tuyến chung là SI, AB và CD song song hoặc đồng quy. Do AB // CD nên SI // AB // CD. Ta có: NS NI SI SI // AB 1 NB NA AB. Khi đó: SI // AB SIBA SI AB là hình bình hành.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD. a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành. b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Lời giải a) Vì MQ là đường trung bình của tam giác ABCD nên ta có MQ // BD 1 MQ BD 2. Tương tự ta cũng có: NP // BD 1 NP BD 2. Do vậy MQNP là hình bình hành từ đó suy ra MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. b) Tương tự chứng minh trên ta cũng có tứ giác RNSM cũng là hình bình hành do có RN // MS 1 RN MS AD 2 suy ra RS và MN cũng cắt nhau tại trung điểm I của MN. Vậy ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đoạn.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi M, N, P, Q lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // SB, NP // CD, MQ // CD. a) Chứng minh rằng: PQ // SA. b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng: SK // AD // BC. Lời giải a) Ta có: CN CM DQ MN // SB 1 SC CB AD. Lại có: CN DP NP // CD 2 CS DS (Định lý Ta-let). Từ (l) và (2) suy ra DP DQ SA // PQ DS AD. b) Xét 3 mặt phẳng (SAD); (SBC) và (ABCD) cắt nhau theo các giao tuyến là SK, AD, BC. Suy ra SK, AD, BC song song hoặc đồng quy. Mặt khác AD // BC SK // AD // BC.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAD) và (SBC); (SAB) và (SCD). b) Lấy M thuộc SC. Tìm giao điểm N của SD và (ABM). Tứ giác ABMN là hình gì? Lời giải a) Trong (SAD) dựng đường thẳng d di qua S và song song với AD. Ta có: d // AD, AD // BC d // BC. Suy ra d thuộc (SBC). Nên d là giao tuyến của (SAD) và (SBC). Tương tự, trong (SAB) dựng đường thẳng 1 d đi qua S, song song với AB thì 1 d là giao tuyến của (SAB) với (SCD). b) Giả sử SD ABM N (ABM SCD MN). Xét ba mặt phẳng (ABM); (ABCD); (SCD) lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là AB, MN, CD nên chúng song song hoặc đồng quy. Mà AB // CD AB // CD // MN ⇒ ABMN là hình thang.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB là đáy lớn). Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, SB. a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD); (SCD) và (IJK). b) Tìm giao điểm M của SD và (IJK). c) Tìm giao điểm N của SA và (IJK). d) Xác định thiết diện của hình chóp và (IJK). Thiết diện là hình gì? Lời giải a) Do AB // CD ⇒ giao tuyến của (SAB) và (SCD) đi qua điểm S và song song với AB và CD. Giả sử (IJK SAB KP) với P SA. Ba mặt phẳng (ABC); (IJK) và (SAB) lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là IJ, AB và PK nên chúng song song hoặc đồng quy. Mặt khác AB // IJ PK // AB // IJ. b) Do PK // AB mà KS KB P là trung điểm của SA. Khi đó PI là đường trung bình trong tam giác SAD suy ra PI // SD SD không cắt (IJKP). c) Chứng minh ở câu b, ta có N trùng với P tức là N là trung điểm SA. d) Ta có thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJK) là tứ giác IPKJ. Có KP // IJ (chứng minh trên) suy ra thiết diện IPKJ là hình thang.