Bài toán góc giữa hai đường thẳng trong không gian

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán góc giữa hai đường thẳng trong không gian, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán góc giữa hai đường thẳng trong không gian:
Vấn đề 1: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ. Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a’ b’ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường thẳng a’ và b’ không thay đổi. Do đó ta có định nghĩa: Định nghĩa: Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng Để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại. Nếu u là vecto chỉ phương của đường thẳng a và v là vecto chỉ phương của đường thẳng b và (u;v) = α thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng α nếu 0 90 α và bằng 180° − α nếu 90 180 ° α. Nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°. Góc giữa 2 đường thẳng là góc có số đo 0 90 α.
3. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng: Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian chúng ta cần nhớ các công thức sau: Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:  222 AB AC BC cos BAC 2.AB.AC. Tương tự ta có: 222 BA BC AC cos ABC 2.BA.BC và 222 CA CB AB cos ACB 2.CA.CB. Chú ý: 1 222 AB.AC AB.ACcos BAC AB AC BC 2. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ AB và CD dựa vào công thức AB.CD AB.CD cos AB CD cos AB CD từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ABC và SA a 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM. Lời giải: Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra a AM CE 2. Khi đó AE // CM AE CM AN AE. Mặt khác 2 2 SC SA AC 2a ⇒ độ dài đường trung tuyến AN là SC a 3 AN a.AE CM 2 2. Do ∆ABC đều nên CM AM ⇒ AMCE là hình chữ nhật. Khi đó CE AE mà CE SA CE SAE CE SE ∆SEC vuông tại E có đường trung tuyến 1 EN SC a.
Ta có: 222 AN AE NE 3 3 cos NAE 0 cos. Cách 2: Ta có: 1 1 AN AS AC ;CM AM AC AB AC. 2 2. Khi đó 2 2 a 3a AN.CM AS AC AB AC AB.AC AC a cos 60 . 2 2 4 2 4 28. Lại có: 2 3a SC a 3 8 3 AN a CM cos. Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB a AC a 2 và BC a 3. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB. Lời giải: Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó MP // SC SC AB MP MN N // AB. Ta có: AB a SC a MN MP 22 22. Mặt khác ∆SAC vuông tại S AC a 2 SP 2 2 BA BC AC 3 a 6 BP a BP. Suy ra 22 22 2 PS PB SB 3a a 3 PN NP. Khi đó 2 22 MN MP NP 1 cos NMP NMP 120 SC. Cách 2: Ta có: AB SB SA AB 2 11 a 22 2 22 2 SB SC AC SA SC AB. Suy ra 2 a 2 1 cos SC AB SC AB 60.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB x CD x AC y BD y BC z AD z 1 2 1 21 2. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AD. Lời giải: Ta có: BC.DA BC DC CD CB.CD CB.CD. Khi đó 2222 1 21 2 1 2 BC.DA xxyy cos BC DA BC.DA 2z z. Đặc biệt: Nếu AB CD x AC BD y và BC AD z ta đặt BC AD AB CD AC BD α β γ thì ta có: x y y z z z cos zxy. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a, SA ABCD và SB a 5. Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SM và DN.
Lời giải: Cách 1: Do SA ABCD. Ta có: 2 2 SA SB AB a. Gọi E là trung điểm của AD và I là trung điểm của AE. Dễ thấy BNDE là hình bình hành và MI là đường trung bình trong tam giác ABE. Khi đó DN // BE // MI. Ta có: AE a AM a AI. Mặt khác: 5a SM SA AM 2a AI AM. Do vậy cos SMI = SM MI SI 10 2 22. Cách 2: Ta có: SM.DN SM. SN SD SM.SN SM.SD. Mặt khác: 2 AC 2222 SN SA AN SA AB BN 6a MN a 2. Do đó 2 2a 2a 10 SM.DN 2a cos SM.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a AD a 2 SA ABCD và SA = 2a. a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BC và SD. b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AI. Lời giải: a) Do BC // AD (SD;BC) (SD;AD) SDA ⇒ ∆SAD vuông tại A 2 2 AD AD 1 cosSDA . SD AD SA 3. b) Gọi M, K lần lượt là trung điểm của AB và SA thì MK là đường trung bình trong tam giác SAB. Khi đó MK // SB mặt khác MC // AI. Suy ra (SB;AI) = (MK;CM).