Bài toán dựng thiết diện có yếu tố vuông góc

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán dựng thiết diện có yếu tố vuông góc, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán dựng thiết diện có yếu tố vuông góc:
Dạng 2: Bài toán dựng thiết diện có yếu tố vuông góc Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, SA (ABC) và SA = a. Tìm thiết diện của tứ diện SABC với (α) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau: a) (α) qua S và vuông góc với BC b) (α) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của ∆SBC Lời giải a) Gọi I là trung điểm của BC thì AI BC. Mặt khác SA (ABC) SA BC BC (SAI). Thiết diện của khối chóp qua S và vuông góc với BC là tam giác SAI vuông tại A có a SA a; AI = 32. Do đó SAI a S SA.AI 2 1 3 2 4.
b) Dựng AK SI lại có BC (SAI) BC AK. Suy ra AK (SBC) AK SI. Qua K dựng đường thẳng vuông góc với SI cắt SB, SC lần lượt tại E và F ⇒ thiết diện là tam giác AEF. Ta có: SA.AI a AK SA AI 2 2 21 7. Tam giác SAI vuông tại A có đường cao AH nên: SA SK EF SA SA SK.SI SI SI BC SA AI 2 2 2 2 2 2 4 7. Do đó AEF a EF a S AK.E F 4 1 2 21 7 2 49. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên đều bằng a 3 2. Mặt phẳng (α) đi qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC), xác định thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp và tính diện tích thiết diện.
Lời giải: Gọi O là trọng tâm tam giác ABC thì SO (ABC). Do S.ABC là khối chóp đều. Gọi I là trung điểm của BC thì AI BC mà BC SO suy ra BC (SAI). Dựng AH SI lại có BC (SAI) BC AH. Suy ra AH (SBC). Qua K dựng đường thẳng song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại N và M ⇒ thiết diện là tam giác AMN. Ta có: a SA AI 3 2 H là trung điểm của SI. Suy ra a MN BC 1 2 2. Lại có: a a SI SB IB HI 2 2 2 2 2 4. Khi đó AMN a a AH AI HI S AH.MN 2 2 2 10 1 10 4 2 16.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) và SA = 2a. Gọi M là một điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Đặt x = AM (0 x a) a) Tìm thiết diện của hình chóp với (α). Thiết diện là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và x. Lời giải a) Trong mặt phẳng (ABCD), qua M dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt CD tại Q. Trong mặt phẳng (SAB), qua M dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt SB tại N. Do MQ AB MQ // BC. Do đó (α) cắt (SBC) theo giao tuyến là NP (P SC) thì NP//BC. Do MN//SA ⇒ MN ⊥ MQ. Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại M và N. Trong mp (ABCD), dựng CE AD ⊥ và cắt MQ tại F.
b) Ta có: FQ CF BM a x MF AE BC a DE a; FQ a x ED CE BA a. Suy ra MQ a x 2 mặt khác AM SN NP x NP NP x AB SB BC a a. Lại có: MN BM a x MN a x SA BA a 2 2. Diện tích thiết diện là: MNPQ MQ NP S MN a (a x) 2 2. Ví dụ 4: Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA (ABC) và SA a 3. Điểm M là một điểm tùy ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 x a). Gọi (α) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. a) Tìm thiết diện của tứ diện SABC với (α). b) Tính diện tích của thiết diện theo a và x. Tìm x để diện tích này có giá trị lớn nhất.
Lời giải: a) Trong mặt phẳng (ABCD), qua M dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt AC tại Q. Trong mặt phẳng (SAB), qua M dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt SB tại N. Do MQ AB MQ BC. Do đó (α) cắt (SBC) theo giao tuyến là NP (P SC) thì NP//BC. Lại có: MN//SA ⇒ (α) cắt (SAC) theo giao tuyến là PQ ⇒ PQ//SA//MN ⇒ MNPQ là hình bình hành. Do MN // SA MN (ABC) MN AB. Vậy thiết diện của chóp với (α) là hình chữ nhật MNPQ. Ta có: AB BC a BC a 2. Mặt khác AM MQ x MN BM a x MQ x MN (a x) AB BC a SA BA a 3.
Diện tích thiết diện là S MN MQ x(a x) MNPQ 3. Áp dụng bất đẳng thức: a b a.b 2 2 ta có: MNPQ xax S MN.MQ. Suy ra S a MNPQ ≤ 3 2 4 đạt được khi a xax x 2. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD). Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD). a) (α) cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì? b) Biết SA = a. Tính thiết diện tìm được ở câu a. Lời giải a) Trong mặt phẳng (SAD) dựng AH SD tại H. Ta có: CD AD CD (SAD) CD AH SA CD AH CD AH (SCD) AH SD (α) là mặt phẳng chứa AB đồng thời chứa AH vuông góc với mặt phẳng (SCD). Vậy (SCD) α và (AB, AH) α.
Ta có: AB//CD nên CD//(α) và H là điểm chung của (α) và (SCD) nên giao tuyến của (α) và (SCD) là đường thẳng qua H và song song với CD cắt SC tại E. Ta có thiết diện của (α) và hình chóp S.ABCD là hình thang vuông AHEB vuông tại A và H vì AB (SAD) b) Do SA = AD = a ⇒H là trung điểm của AD AD a CD a AH EH 2. Diện tích hình thang vuông AHEB là: AHEB a a AB EH a a S AH 2 2 23 2 2 22 8.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có SA (ABCD). Giả sử (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, (α) cắt SC tại I. a) Xác định giao điểm K của SO với mặt phẳng (α) b) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và BD//(α) c) Xác định giao tuyến d của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (α). Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng (α). d) Biết rằng AB = a; SA a 2. Tính diện tích thiết diện tìm được ở câu c.
Lời giải: a) Gọi I SC α. Ta có: SC AI SC AI α. Vậy AI là đường cao của tam giác vuông SAC. Trong mặt phẳng (SAC), đường cao AI cắt SO tại K và AI α nên K là giao điểm của SO với (α). b) Ta có: BD AC BD (SAC) BD SC BD SA. Mặt khác BD (SBD) nên (SBD) (SAC). Do BD SC và SC α nhưng BD không chứa trong (α) nên BD//(α). c) Ta có: K SO (α) và SO thuộc mặt phẳng (SBD) nên K là một điểm chung của (α) và (SBD). Mặt phẳng (SBD) chứa BD//(α) nên cắt (α) theo giao tuyến d//BD. Giao tuyến này đi qua K là điểm chung của (α) và (SBD).
Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d với SB và SD. Thiết diện là tứ giác AMIN có AI SC MN // BD. d) Ta có: BD (SAC) BD AI mà BD // MN AI MN. Tứ giác AMIN có hai đường chéo vuông góc với nhau nên S AI.MN AMIN 1 2. Ta có : AC a 2 nên tam giác SAC cân tại A suy ra AI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Khi đó K AI SO là trọng tâm tam giác SAC. Lại có : SK MN a MN BD SO BD. Mặt khác SC a AI 2 2 2. Do đó AMIN a S AI.MN.