Bài toán đếm số có yếu tố chia hết

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán đếm số có yếu tố chia hết, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán đếm số có yếu tố chia hết:
DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ CÓ YẾU TỐ CHIA HẾT Phương pháp giải: Một số dấu hiệu chia hết cần lưu ý: Số n chia hết cho 2 khi chữ số tận cùng của nó là 0, 2, 4, 6, 8. Ví dụ: 24; 508… Số n chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Ví dụ: 126; 540… Số n chia hết cho 4 khi 2 chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 4. Ví dụ: 116; 544… Số n chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. Ví dụ: 80, 205… Số n chia hết cho 6 khi nó đồng thời chia hết cho 2 và 3.
Số n chia hết cho 8 khi 3 chữ số cuối cùng của nó phải chia hết cho 8. Số n chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Số n chia hết cho 10 khi chữ số tận cùng của nó là 0. Số n chia hết cho 12 khi nó đồng thời chia hết cho 3 và 4. Số n chia hết cho 15 khi nó đồng thời chia hết cho 3 và 5. Số n chia hết cho 20 khi hai chữ số tận cùng của nó là 00; 20; 40; 60 và 80 Số n chia hết cho 25 khi hai chữ số tận cùng của nó là 25; 50; 75; và 00.
Ví dụ 1. Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8}. a) Lập được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số từ A. b) Lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau từ A. Lời giải: a) Gọi số lẻ có 5 chữ số được lập từ dãy là abcde. Ta có 4 cách chọn e (vì số được lập là số lẻ), với mỗi cách chọn e lần lượt có 8 cách chọn a, 9 cách chọn b, 9 cách chọn c và 9 cách chọn d. Do đó có tổng cộng 4.8.9.9.9 23328 số thỏa mãn.
b) Gọi số chẵn có 5 chữ số được lập từ dãy là abcde (các chữ số đôi một khác nhau). TH1: e 0 khi đó chọn a, b, c, d và sắp xếp có 4 A9 cách do vậy có: 4 9 A 3024 số. TH2: e = {2;4;6;8} có 4 cách chọn, khi đó chọn a có 7 cách chọn, và chọn bộ 3 số b, c, e và sắp xếp có tổng cộng 3 A7 cách. Do đó có 3 7 4.7. 5880 A. Do đó có: 8904 số chẵn được lập từ tập trên.
Ví dụ 2. Chọn tập hợp A = {0;1;2;3;4;5} a) Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ A. b) Lập được bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 từ A. Lời giải: a) Gọi số có 4 chữ số chia hết cho 5 được lập từ A có dạng abcd Ta có: chọn a có 5 cách chọn, b có 6 cách chọn, c có 6 cách chọn và d có 2 cách chọn. Khi đó có 5.6.6.2 360 số thỏa mãn YCBT.
b) Gọi số thỏa mãn YC là abcd (các chữ số đôi một khác nhau). Số có 3 chữ số chia hết cho 3 nên có tổng 3 chữ số là số chia hết cho 3. Mặt khác số đó là số chẵn do vậy phải có ít nhất 1 số chẵn trong 4 số. Các bộ 4 số thỏa mãn là: 0;1;2;3; 0;1;3;5; 0;3;4;5; 1;2;4;5 TH1: Xét bộ 4 số là 0, 1, 2, 3 +) Xét d 0 khi đó có 3 3 A 6 số +) Xét d 2 khi đó có: 2.2 4 số Vậy có 10 số ở bộ này thỏa mãn. TH2: Xét bộ số là 0, 1, 3, 5 khi đó d 0 vậy có 3 3 1. 6 A số thỏa mãn. TH3: Xét bộ số 0, 3, 4, 5 cũng có 10 số thỏa mãn như TH1. TH4: Xét bộ số 1, 2, 4, 5 có 2.3.2.1 12 số thỏa mãn. Vậy tổng cộng có: 38 số thỏa mãn YCBT.
Ví dụ 3. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được: a) Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một. b) Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một. c) Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một. Lời giải: a) Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng: abc0 hoặc abc2 hoặc abc4. Với số abc0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c có 5.4.3 60 số.
Với số abc2 hoặc abc4 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c có 4.4.3 48 số abc2 và 48 số abc4. Vậy có: 60 48 48 156 số chẵn. b) Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng ab0 hoặc ab5. Với số ab0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b có 5.4 20 số. Với số ab5 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b có 4.4 16 số. Vậy có: 20 16 số cần tìm. c) Gọi abc là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau. Khi đó a b c có thể là: 0, 4, 5, 1, 3, 5, 2, 3, 4.
Khi a b c 0 4 5 thì các số phải tìm là : 405, 450, 504, 540 có 4 số. Khi a b c hay 1, 3, 52, 3, 4 thì số phải tìm là hoán vị của 3 phần tử có 3! 6 số. Vậy có: 4 6 6 16 số cần tìm. Ví dụ 4. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789? Lời giải: Ta xét các trường hợp sau: TH1: Chữ số hàng đơn vị là 2, 4, 6 có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Nếu chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng đơn vị và hàng trăm, ta có 7 cách chọn chữ số hàng chục Số các số thu được là: 3.5.7 105 số. Nếu chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 6 cách chọn chữ số hàng chục Số các số thu được là 3.6 18. TH2: Chữ số hàng đơn vị là 8: Nếu chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, ta có 7 cách chọn chữ số hàng chục. Số các số thu được là: 6.7 42 số. Nếu chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục. Số các số thu được là: 6 số. Vậy tất cả có: 105 18 42 6 171 số.