Bài toán đếm số có ràng buộc lớn bé, số lần xuất hiện chữ số

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán đếm số có ràng buộc lớn bé, số lần xuất hiện chữ số, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán đếm số có ràng buộc lớn bé, số lần xuất hiện chữ số:
DẠNG 2: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ CÓ RÀNG BUỘC LỚN BÉ, SỐ LẦN XUẤT HIỆN CHỮ SỐ. Ví dụ 1. Cho các chữ số: 0, 2, 4, 5, 6. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số a) Có 3 chữ số đôi một khác nhau và lớn hơn 226 b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 5133. Lời giải: a) Số cần lập có dạng abc 226 (trong đó a b c 0;2;4;5;6 và đôi một khác nhau).
TH1: Với a 2 thì b {4;5;6} có 3 cách chọn suy ra c còn 3 cách chọn nên có 1.3.3 9 số. TH2: Với a {4;5;6} có 3 cách chọn thì b có 4 cách chọn và c còn 3 cách chọn nên có 3.4.3 36 số. Theo quy tắc cộng có 9 36 45 số. b) Số cần lập có dạng abcd 5133 (trong đó a b c 0;2;4;5;6 và đôi một khác nhau). TH1: Nếu a b 5 0 khi đó c, d có lần lượt 3 và 2 cách chọn suy ra có 3.2 6 số. TH2: Nếu a {2;4} thì bcd có 3 A = 24 4 cách chọn suy ra có 2.24 48 số. Theo quy tắc cộng có 6 48 54 số.
Ví dụ 2. Cho các chữ số: 0, 2, 3, 5, 7, 8. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số a) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 6540 b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và lớn hơn 2318 Lời giải: a) Số cần lập có dạng abcd 6540 (trong đó a, b, c, d {0;2;3;5;7;8} và đôi một khác nhau). TH1:Nếu a b c d 6, 5, 0, 2, 3 nên cd có 2 3 A 6 TH2: Nếu a b 6 0, 2, 3 có 3 cách chọn thì cd có 2 4 A 12 cách lập suy ra có 3.12 36 số. TH3:Nếu a {2;3;5} có 3 cách chọn thì bcd có 3 5 A 60 cách lập suy ra có3.60 180 số. Vậy theo quy tắc cộng có 6 36 180 222 số.
b) Số cần lập có dạng abcd 2318 (trong đó a b c d, 0, 2, 3, 5, 7, 8 và đôi một khác nhau). TH1: Nếu a b c 2, 3 5, 6, 7 có 3 cách chọn và d có 3 cách chọn suy ra có 3.3 9 số. TH2: Nếu a b 2, 5, 6, 7 có 3 cách chọn thì cd có 2 4 A 12 cách chọn suy ra có 3.12 36 số TH3: Nếu a {3;5;7;8} suy ra bcd có 3 6 A 120 cách suy ra có 4.120 480 số. Vậy theo quy tắc cộng có 9 36 480 525 số.
Ví dụ 3.Cho các chữ số: 1, 2, 3, 5, 6, 9 .Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số a) Có 3 chữ số đôi một khác nhau và lớn hơn 308. b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 6256. Lời giải: a) Số được lập có dạng abc 308 trong đó a b c 1, 2, 3, 5, 6, 9 và đôi một khác nhau TH1: Nếu a 3 suy ra b c, 1, 2, 5, 6, 9 nên bc có 2 A5 cách chọn TH2: Nếu a {5, 6, 9} thì b c, 1, 2, 5, 6, 9 nên bc có 2 A5 cách chọn Vậy có 2 2 5 5 A A 3 80 số b)Số được lập có dạng abcd 6256 trong đó a b c d, 1, 2, 3, 5, 6, 9 và đôi một khác nhau TH1: a b c d 6, 2, 5 1, 3 nên có 2 số. TH2: a b c d 6, 2, 1, 3 có 3 cách chọn nêm có 2.3 6 số. TH3: a b cd 6, 1 có 2 A4 cách chọn nên có 2 4 A 12 số. TH4: a {1, 2, 3, 5} thì bcd có 3 A5 cách chọn nên có 3 5 4. 240 A số. Theo quy tắc cộng có 2 6 12 240 260 số.
Ví dụ 4. Cho các chữ số: 0, 1, 2, 5, 6, 8. Từ các số trên có thể lập được bao nhiêu số a) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và không bé hơn 2019. b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và không lớn hơn 5008. Lời giải: a) Số cần lập có dạng abcd 2019 trong đó a b c d, 0, 1, 2, 5, 6, 8 và đôi một khác nhau TH1: a b c 2, 0 5, 6, 8 suy ra d có 3 cách chọn suy ra 3.3 9 số. TH2: a b 2, 1, 5, 6, 8 có 4 cách chọn suy ra cd có 2 4 A 12 cách lập nên có 4.12 48 số. TH3: a {5, 6, 8} thì bcd có 3 5 A 60 cách lập nên có 3.60 180 số. Theo quy tắc cộng có 9 48 180 237 số. b) Số cần lập có dạng abcd 5008 trong đó a b c d, 0, 1, 2, 5, 6, 8 và đôi một khác nhau TH1: a 5 (không tồn tại số thỏa mãn) TH2: Với a {1, 2} suy ra bcd có 3 5 A 60 cách lập nên có 2.60 120 số. Vậy có 120 số.
Ví dụ 5. Cho các chữ số:0, 2, 4, 5, 6, 9. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số a) Có 3 chữ số đôi một khác nhau luôn có mặt chữ số 4 b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau luôn có mặt chữ số 6 Lời giải: a) Xét số có 3 chữ số dạng abc a 0 được lập từ 6 số trên có 5.5.4 100 số. Xét số có 3 chữ số được lập từ các số trên và không có mặt chữ số 4 có: 4.4.3 48 số. Suy ra có 100 48 52 số có 3 chữ số đôi một khác nhau luôn có mặt chữ số 4. b) Xét số có 4 chữ số dạng abcd a 0 được lập từ 6 số trên có 5.5.4.3 300 số. Xét số có 4 chữ số được lập từ các số trên và không có mặt chữ số 6 có: 4.4.3.2 96 số. Suy ra có 300 96 204 số có 4 chữ số đôi một khác nhau luôn có mặt chữ số 6.
Ví dụ 6. Cho các chữ số:0, 1, 2, 5, 6, 8. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số a) Có 3 chữ số đôi một khác nhau, là số chẵn và luôn có mặt chữ số 5. b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau, là số lẻ và luôn có mặt chữ số 2. Lời giải: a) Xét số có 3 chữ số khác nhau dạng abc là số chẵn và luôn có mặt chữ số 5. TH1: Với c 0 thì 2 số còn một số là 5 và một số thuộc tập {1, 2, 6, 8} có 4 cách chọn, sắp xếp a b, suy ra có 4.2! 8 số được lập. TH2: Với c {2;6;8} có 3 cách chọn. +) Với a 5 thì b có 4 cách chọn nên có 3.4 12 số. +) Với b 5 thì a 0 nên a có 3 cách chọn nên có 3.3 9 số. Vậy có tổng cộng 8 12 9 29 số.
b) Số cần lập có dạng abcd là số lẻ và luôn có mặt chữ số 2. Chọn d {1, 5} có 2 cách chọn TH1: Nếu a 2 thì bc có 2
4 A 12 cách lập nên có 2.12 24 số. TH2: Nếu b 2 thì a có 3 cách chọn và c có 3 cách chọn nên có 3.3 9 số. TH3: Nếu c 2 hoàn toàn tương tự trường hợp 2 ta cũng có 9 số thỏa mãn. Vậy có tổng cộng 24 9 9 42 số thỏa mãn Ví dụ 7. Cho các chữ số 0, 1, 3, 4, 5, 7. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số a) Có 3 chữ số đôi một khác nhau, luôn có mặt chữ số 3 và chia hết cho 5. b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau, là số chẵn và luôn có mặt chữ số 7. Lời giải: a) Xét các số có 3 chữ số dạng abc chia hết cho 5. TH1: Nếu c 0 thì ab có 2 5 A 20 cách chọn suy ra có 20 số TH2: Nếu c 5 thì a {1;3;4;7} có 4 cách chọn và b có 4 cách chọn suy ra có 4.4 16 số. Do đó có 36 số. Xét các số có 3 chữ số dạng abc chia hết cho 5 và không có mặt chữ số 3. TH1: Nếu c 0 thì ab có 2 4 A 6 cách chọn suy ra có 6 số TH2: Nếu c 5 thì a {1;4;7} có 3 cách chọn và b có 3 cách chọn suy ra có 3.3 9 số. Do đó có 6 9 15 số. Vậy có 36 15 21 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b)Xét số có 4 chữ số khác nhau dạng abcd là số chẵn. TH1: Nếu d 0 thì abc có 3 A5 cách chọn nên có 60 số. TH2: Nếu d 4 thì a 0 nên có 4 cách chọn, bc có 2 A4 cách chọn suy ra có 2 4 4. 48 A số. Vậy có 60 48 108 số. Xét số có 4 chữ số khác nhau dạng abcd là số chẵn và không có mặt chữ số 7. TH1: Nếu d 0 thì abc có 3 A4 cách chọn nên có 24 số. TH2: Nếu d 4 thì a 0 nên có 3 cách chọn, bc có 2 A3 cách chọn suy ra 2 3 3. 18 A số. Vậy có 24 18 42 số. Do đó có 108 42 66 số có 4 chữ số đôi một khác nhau, là số chẵn và luôn có mặt chữ số 7.