Bài toán đếm có yếu tố hình học

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán đếm có yếu tố hình học, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán đếm có yếu tố hình học:
DẠNG 4. BÀI TOÁN ĐẾM CÓ YẾU TỐ HÌNH HỌC. Một số kết quả quan trọng cần lưu ý: KQ 1: Với n điểm cho trước trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng được tạo ra là 2, Cn số véc tơ có điểm đầu và điểm cuối lấy từ n đỉnh là 2 An. KQ 2: Cho đa giác lồi n cạnh, số đường chéo của đa giác là 2 C n n KQ 3: Cho đa giác lồi n cạnh, xét các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác, khi đó – Số tam giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác là n n 4 – Số tam giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác là n.
Số tam giác không có cạnh chung với đa giác là 3 4 C n n n n KQ 4: Cho đa giác đều có 2n cạnh, số các tam giác vuông có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác n n 2 2 KQ 5: Cho đa giác đều có n cạnh, số tam giác nhọn được tạo thành từ 3 trong n đỉnh của đa giác là: 3 Cn (số tam giác tù + số tam giác vuông) KQ 6: Cho đa giác đều có n cạnh, số tam giác tù có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác được tính bởi công thức.
Nếu n chẵn 2 2 2 n n C. Nếu n lẻ 2 1 2 n n C KQ 7: Cho đa giác lồi n cạnh, xét các tứ giác có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác, khi đó – Số tứ giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác là 2 4 5 n n C n A – Số tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác là 5 5 2 n n n n B – Số tứ giác có đúng 3 cạnh chung với đa giác là n C – Số tứ giác không có cạnh chung với đa giác là 4 C A B C n KQ 8: Cho đa giác đều có 2n đỉnh. Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH CHỮ NHẬT là 2 Cn KQ 9: Cho đa giác đều có 4n đỉnh. Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH VUÔNG là n.
Ví dụ 1. Cho 10 điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm? b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm? c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 10 điểm trên? d) Nếu trong 10 điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được tạo thành? Lời giải: a) Cứ 2 điểm có 1 đường thẳng đi qua nên có 2 C10 đường thẳng cần tìm. b) Vectơ có phân biệt điểm đầu cuối nên với 2 điểm có 2 vectơ nên có 2 A10 vectơ. c) Cứ 3 điểm lập thành một tam giác nên có 3 C10 tam giác. d) Cứ 4 điểm không đồng phẳng thì tạo thành 1 tứ diện nên có 4 C10 tứ diện được thiết lập.
Ví dụ 2. Cho đa giác lồi có n cạnh n 4 a) Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh? b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì không đồng quy. Hãy tính số giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy? Lời giải: a) Cứ 2 điểm tạo thành 1 đường thẳng gồm đường chéo và cạnh, suy ra số đường chéo là 2 C n n Suy ra 2 ! 2 5 2! 2 ! n n C n n n n n b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm của 2 đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm phải tìm bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác: 4 Cn.
Ví dụ 3. Cho một đa giác lồi có n – cạnh n N b 3 a) Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo? b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác? c) Có bao nhiêu điểm giữa các đường chéo? Lời giải: a) Cứ 2 điểm tạo thành 1 đường thẳng gồm đường chéo và cạnh, suy ra số đường chéo là 2 C n n Nếu đa giác có số cạnh bằng số đường chéo thì 2 ! 2 5 2! 2 ! n n C n n. b) Chọn 3 trong n đỉnh ta thu được 3 2 1 6 n C tam giác cần lập.
c) Cứ 4 đỉnh tạo thành 2 đường chéo ứng với 1 giao điểm, vậy có 4 1 2 3 24 n n C Ví dụ 4. Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt. b) 10 đường tròn phân biệt? c) 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên? Lời giải: a) Cứ 2 đường thẳng phân biệt tạo thành 1 giao điểm. Vậy có 2 10 C 45 giao điểm. b) Cứ 2 đường tròn phân biệt tạo thành 2 giao điểm. Vậy có 2 10 2 90 C giao điểm. c) Cứ 1 đường thẳng và 1 đường tròn tạo thành 2 giao điểm, suy ra 2.10.10 200 giao điểm đơn. Kết hợp hai câu a và b ta có 200 45 90 335 giao điểm.
Ví dụ 5. Cho hai đường thẳng song song d d 1 2 , . Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên d1 và d2 Lời giải: Số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên d1 và d2 : TH1: 1 điểm trên đường d1 và 2 điểm trên đường d2 Số tam giác là 1 2 17 20 C C 3230 TH2; 2 điểm trên đường d1 và 1 điểm trên đường d2 Số tam giác là 1 2 20 17 C C. 2720. Do đó, tổng số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn là 3230 2720 5950.
Ví dụ 6. Cho mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của H. a) Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? b) Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của H? c) Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H? Lời giải: a) Đa giác H có 20 cạnh có 20 đỉnh. Một tam giác được tạo bởi 3 đỉnh Có 3 20 C 1140 tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của H. b) Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của H?
Tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H 3 đỉnh của chúng sẽ là 3 đỉnh kề nhau thuộc H. Chọn 1 đỉnh chung của 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác thì chỉ có 1 cách chọn Có 1 20 C 20 đỉnh hay có 20 tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của H. c) Ta sẽ tính qua phần bù: Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H? Để có 1 cạnh là cạnh của H, ta sẽ chọn 2 đỉnh kề nhau trong 20 đỉnh đã cho Có 20 cách chọn 1 đỉnh còn lại sẽ có 18 đỉnh còn lại trừ đi 2 đỉnh kề ta còn lại 16 đỉnh thỏa mãn có: 20.16 320 tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H. Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H?
Số tam giác không có cạnh nào của H chính là bằng tổng số tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của H trừ đi số tam giác có 2 và 1 cạnh là cạnh của H: 1140 320 20 800 Ví dụ 7. Có 10 điểm A, B, C, … trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. a) Nối chúng lại ta được bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không đi qua A hay B? b) Có bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB?
Lời giải: a) Ta xét từng câu hỏi nhỏ: Từ 10 điểm đã cho, nối 2 điểm bất kì ta sẽ được 1 đường thẳng Có 2 10 C 45 đường thẳng Đường thẳng không đi qua A hay B, tức là các đường thẳng sẽ chỉ được tạo từ 8 điểm C, D,… Có 2 8 C 28 đường thẳng b) Ta xét từng câu hỏi nhỏ: Có bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Mỗi tam giác có 3 đỉnh, do đó số tam giác được tạo bởi các điểm trong 10 điểm đã cho là 3 10 C 120 Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Cố định điểm A. Trong 9 điểm còn lại, lấy 2 điểm để được 1 đoạn thẳng Có 2 9 C 36 đoạn thẳng, tức là có 36 tam giác chứa điểm A.
Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB? Cố định cạnh AB của tam giác. Khi đó, 1 đỉnh còn lại của tam giác có 8 sự lựa chọn. Do đó, có 8 tam giác chứa cạnh AB. Ví dụ 8. Có p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối p điểm đó lại với nhau. Hỏi: a) Có bao nhiêu đường thẳng? b) Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác? Lời giải: a) Từ p điểm trong mặt phẳng ta sẽ lập được 2 ! 1 1 2!. 2 ! 2 p đường thẳng. Nhưng trong p điểm đã cho lại có q điểm thẳng hàng nên sẽ bị trùng q C q q đường thẳng.