VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán cực trị trong giao thoa, nhằm giúp các em học tốt chương trình Vật lí 12.
Nội dung bài viết Bài toán cực trị trong giao thoa: Bài toán cực trị trong giao thoa. Phương pháp. Bài toán cực trị trong giao thoa là bài toán liên quan đến vị trí của các điểm cực đại, cực tiểu sao cho khoảng cách từ điểm đó đến một điểm khác, hoặc đến một đoạn nào đó là gần nhất (nhỏ nhất), xa nhất (lớn nhất). Phương pháp chung là từ giả thiết của đề bài, biểu diễn các khoảng cách đó theo k. Sau đó chặn k và suy ra k để khoảng cách đó lớn nhất hay nhỏ nhất. Từ đó suy ra kết quả bài toán. Ta sẽ xét những ví dụ minh họa để hiểu hơn. Chú ý: Trong bài toán dạng này, thường sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tính toán.
Ví dụ 1: Tại hai điểm A và B trên mặt thoáng của chất lỏng có hai nguồn phát sóng kết hợp dao động cùng pha, với tần số 10 Hz. Coi biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền sóng. Biết tốc độ truyền sóng v = 2 m/s và AB = 100 cm. Xét các điểm ở mặt chất lỏng nằm trên đường thẳng By vuông góc với AB tại B và dao động với biên độ cực đại, điểm cách B xa nhất và gần nhất lần lượt là bao nhiêu? Dễ thấy bước sóng v 20cm. Giả sử điểm p nằm trên By dao động vói biên độ cực đại và cách nguồn A khoảng d1 = AP, cách nguồn B khoảng d2 = BP. Yêu cầu bài toán tưong đương việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của d2. Vì hai nguồn cùng pha nên P dao động với biên độ cực đại khi d2 – dl = kλ. Rõ ràng từ phương trình trên, ta chỉ cần tính k để d2 cực đại (cực tiểu) sau đó kết hợp với định lí Pytago, giải hệ là bài toán được giải quyết.
Bây giờ, ta sẽ đi tìm k để d1 cực đại, cực tiểu. Nếu d2 càng lớn thì vế trái càng nhỏ, k càng nhỏ. Tức là d2 lớn nhất khi k nhỏ nhất, hay P thuộc cực đại bậc nhỏ nhất. Nếu d2 càng nhỏ thì vế trái càng lớn, k càng lớn. Tức là d2 nhỏ nhất khi k lớn nhất, hay P thuộc cực đại bậc lớn nhất. Điểm cách B xa nhất: d2 lớn nhất khi P thuộc cực đại bậc nhỏ nhất. Với 2 nguồn cùng pha thì cực đại có bậc nhỏ nhất (không phải trung trực) là cực đại bậc 1. Do đó ta có: 2 1 d k 1.20 20 = λ. Mặt khác, theo Pytago thì. Vậy cực đại trên By cách B xa nhất một đoạn 240 cm. Điểm cách B gần nhất: d2 nhỏ nhất khi P thuộc cực đại bậc lớn nhất. Đường cực đại bậc k sẽ cắt AB tại điểm cực đại bậc k. Xét trên AB thì ta có max. Vậy đường cực đại xa trung trực nhất (gần B nhất) có bậc là 4. Do đó ta có 2 1 d d k 4.20 80 = λ. Vậy cực đại trên By cách B gần nhất một đoạn 22,5 cm.
Ví dụ 2: Tại hai điểm A và B trên mặt chất lỏng có nguồn phát sóng cơ cùng pha cách nhau AB = 8cm, dao động với tần số f = 20 Hz và pha ban đầu bằng 0. Một điểm M trên mặt nước, cách A một khoảng 25 cm và cách B một khoảng 20,5 cm, dao động với biên độ cực đại. Giữa M và đường trung trực của AB có hai vân giao thoa cực đại. Coi biên độ sóng truyền đi không giảm. Điểm Q cách A khoảng l thỏa mãn AQ và AB vuông góc. Tính giá trị cực đại của l để điểm Q dao động với biên độ cực đại? A. 20,6 cm. B. 20,1 cm. C. 10,6 cm. D. 16 cm. Lời giải: Vì hai nguồn cùng pha và M dao động với biên độ cực đại, và giữa M và đường trung trực có hai vân giao thoa cực đại, nên M thuộc vân cực đại bậc 3. Do đó ta có MA MB 3 25 20,5. Vì l lớn nhất nên Q xa A nhất, do đó Q thuộc đường cực đại bậc 1. Đáp án A.
Ví dụ 3: Trên mặt thoáng chất lỏng, tại A và B cách nhau 20 cm, người ta bố trí hai nguồn đồng bộ có tần số 20 Hz. Tốc độ truyền sóng trên mặt thoáng chất lỏng v = 50cm/s. Hình vuông ABCD nằm trên mặt thoáng chất lỏng, I là trung điểm của CD. Gọi điểm M nằm trên CD là điểm gần I nhất dao động với biên độ cực đại. Tính khoảng cách từ M đến I? A. 1,25 cm. B. 2,8 cm. C. 2,5 cm. D. 3,7 cm. Bước sóng v 2,5 f λ. Xét điểm M trên CD, M gần I nhất dao động với biên độ cực đại khi M thuộc cực đại bậc 1. Khi đó ta có d d 2,5 cm * 1 2 − = λ. Đặt x IM.
Ví dụ 4: Hai nguồn sóng kết hợp đặt tại A và B cách nhau 20 cm dao động theo phương trình u a cos t = ω trên mặt nước, coi biên độ sóng không đổi, bước sóng λ = 3. Gọi O là trung điểm của AB. Một điểm nằm trên đường trung trực AB, dao động cùng pha với các nguồn A và B, cách A hoặc B một đoạn nhỏ nhất là: A. 12 cm B. 10 cm C. 13.5 cm. D. 15 cm. Lời giải. Biểu thức sóng tại A, Bu a cos t = ω. Từ đó suy ra biểu thức sóng tại M là M. Xét điểm M trên trung trực của AB. Điểm M dao động cùng pha với nguồn khi 2 d 2k d k 3k π = π. Để AM nhỏ nhất thì k nguyên phải nhỏ nhất. Vì d 10 ≥ nên ta có k 3,33 ≥ . Suy ra min k. Khi đó: d d 4.3 12 cm = min. Đáp án A.
Ví dụ 5: Giao thoa sóng nước với hai nguồn giống hệt nhau A, B cách nhau 20 cm có tần số 50 Hz. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 1,5 m/s. Trên mặt nước xét đường tròn tâm A, bán kính AB. Điểm trên đường tròn dao động với biên độ cực đại cách đường thẳng qua A, B một đoạn gần nhất là: A. 18,67 mm B. 17,96 mm C. 19,97 mm D. 15,34 mm. Bước sóng v 3; AM AB 20cm f. Ta có max min AB. Ta có ∆AMB cân AM AB 200mm; BM 20mm. Khoảng cách từ M đến AB là đường cao MH của ∆AMB p là nửa chu vi tam giác. Ví dụ 6: Có hai nguồn dao động kết hợp S1 và S2 trên mặt nước cách nhau 8 cm có phương trình dao động lần lượt là S S 1 2 u 2cos 10 t mm; u 2cos 10t mm. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 10 cm/s. Xem biên độ của sóng không đổi trong quá trình truyền đi. Điểm M trên mặt nưóc cách S1 khoảng S1M = 10 cm và S2 khoảng S2M = 6cm. Điểm dao động cực đại trên S2M xa S2 nhất là: A. 3,07 cm. B. 2,33 cm. C. 3,57 cm. D. 6 cm.
Ví dụ 7: Trong thí nghiệm giao thoa trên mặt chất lỏng với 2 nguồn A, B phát sóng kết hợp ngược pha nhau. Khoảng cách giữa 2 nguồn là AB = 16cm. Hai sóng truyền đi có bước sóng là 4 cm. Trên đường thẳng xx’ song song với AB, cách AB một đoạn 8 cm, gọi C là giao điểm của xx’ với đường trung trực của AB. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến điểm dao động với biên độ cực đại nằm trên xx’ là A. 1,42 cm B. 1,50 cm C. 2,15 cm. D. 2,25 cm. Lời giải. Cách 1: Vì 2 nguồn ngược pha nên điểm M thuộc xx’ dao động với biên độ cực đại khi. Do M là điểm cực đại gần C nhất nên M nằm trên đường cực đại thứ nhất k = 0, khi đó 1 2 4 d d. Giải phương trình ta được x = 1,42 cm. Cách 2: Ta có phương trình hypecbol: Trong đó: N là đỉnh hypecbol với đường cực tiểu gần trung trực nhất ⇒ với nguồn cùng pha nên suy ra x = 1,42 (cm). Đáp án A.
Ví dụ 8: Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng nước, hai nguồn kết hợp O1 và O2 dao động cùng pha, cùng biên độ. Chọn hệ trục tọa độ vuông góc xOy thuộc mặt nước với gốc tọa độ là vị trí đặt nguồn O1 còn nguồn O2 nằm trên trục Oy. Hai điểm P và Q nằm trên Ox có OP = 4,5cm và OQ = 8cm. Dịch chuyển nguồn O2 trên trục Oy đến vị trí sao cho góc PO2Q có giá trị lớn nhất thì phần tử nước tại P không dao động còn phần tử nước tại Q dao động với biên độ cực đại. Biết giữa P và Q không còn cực đại nào khác. Trên đoạn OP, điểm gần P nhất mà các phần tử nước dao động với biên độ cực đại cách P một đoạn là: A. 3,4 cm. B. 2,0 cm. C. 2,5 cm. D. 1,1 cm. Xét ∆PQO2, sử dụng định lí hàm sin và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi OP x x OP.OG 4,5.8 6cm x OG. Giả sử tại Q là cực đại bậc k thuộc hypebol cực đại bậc k. Vì giữa P và Q không có cực đại nào khác, nên Q là cực tiểu gây ra bởi hypebol cực tiểu gần hypebol cực đại bậc k nhất (gần về phía điểm O), hypebol cực tiểu này có bậc cũng là k. Từ đó suy ra λ = 2 cm. Bây giờ giả sử một điểm M nào đó thuộc OP và cách O một đoạn y. Để điểm M dao động với biên độ cực đại, và gần P nhất thì M phải thuộc cực đại bậc k + 1 = 2. Khi đó ta có: O2M – y = 2λ, tương đương với 2 2 y 6 y 4 y 2,5cm. Đến đây nhiều bạn tính được bằng 2,5 cm nhìn đáp án thấy cũng có 2,5 cm và khoanh luôn 2,5 cm, và bạn đã sai. Vì đề bài người ta hỏi là khoảng cách giữa điểm đó và P nên đáp án đúng là 4,5 – 2,5 = 2 cm. Đáp án B
Ví dụ 9: Tại mặt nước, hai nguồn kết hợp được đặt ở A và B cách nhau 68 mm, dao động điều hòa cùng tần số, cùng pha, theo phương vuông góc với mặt nước. Trên đoạn AB, hai phần tử nước dao động với biên độ cực đại có vị trí cân bằng cách nhau một đoạn ngắn nhất là 10 mm. Điểm C là vị trí cân bằng của phần tử ở mặt nước sao cho AC ⊥ BC. Phần tử nước ở C dao động với biên độ cực đại. Khoảng cách BC lớn nhất bằng A. 37,6 mm. B. 67,6 mm C. 64,0 mm D. 68,5 mm. Hai phần tử nước dao động với biên độ cực đại có vị trí cách nhau một đoạn ngắn nhất là 10 mm chính là khoảng cách giữa hai điểm cực đại liên tiếp nằm trên đoạn AB. Khi đó ta có 10 20 mm. Để BC lớn nhất thì C phải thuộc cực đại xa B nhất (gần A nhất).
Ví dụ 10: Trong một thí nghiệm giao thoa sóng nước, hai nguồn S1 và S2 cách nhau 16 cm, dao động theo phương vuông góc với mặt nước, cùng biên độ, cùng pha, cùng tần số 80 Hz. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 40 cm/s. Ở mặt nước, gọi d là đường trung trực của đoạn S1S2. Trên d, điểm M ở cách S1 đoạn 10 cm; điểm N dao động cùng pha với M và gần M nhất sẽ cách M một đoạn có giá trị gần giá trị nào nhất sau đây? A. 7,8 mm. B. 6,8 mm. C. 9,8 mm. D. 8,8 mm Bước sóng v 0,5cm f λ. Giả sử phương trình dao động của hai nguồn là u a cos t = ω. Ta sẽ tìm điểm N1 thỏa mãn yêu cầu bài toán, nằm phía trên điểm M; tìm điểm N2 thỏa mãn yêu cầu bài toán, nằm phía dưới điểm M, sau đó so sánh N1M và N2M. Xét hai điểm điểm N1, N2 lần lượt nằm trên M và nằm dưới M, thuộc d, cách S1 một khoảng là d1 > S1M và d2 < S2M.