Bài toán cực trị số phức

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Bài toán cực trị số phức, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Bài toán cực trị số phức:
BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC. PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CỦA HÀM MỘT BIẾN KẾT HỢP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC. Phương pháp: Bài toán: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện. Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Phương pháp tổng quát: Đặt z. Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn rồi thể vào biểu thức P để được hàm một biến. Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được. Phương pháp. Sử dụng các tính chất và các bất đẳng thức về môđun của số phức sau để giải quyết các bài toán min-max: Kết hợp sử dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Bất đẳng thức cho các số thực a, b, c, y ta luôn có. Dấu = xảy ra. Bất đẳng thức Vecto: Cho 2 vecto (x; y).
PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN MIN-MAX. PHƯƠNG PHÁP: Để giải được lớp bài toán này, chúng tôi cung cấp cho học sinh các bất đẳng thức hình học và một số bài toán công cụ sau: Bài toán công cụ. Cho đường tròn (T) cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường tròn (T). Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: TH1: A thuộc đường tròn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A quaI TH2: A không thuộc đường tròn (T) Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T); Giả sử AB JB); d cắt (T) tại hai điểm phân biệt C, D (giả sử ID > IC). Với điểm M bất khì trên (T) và điểm N bất kì trên (T). Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D. Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C. Vậy khi M trùng với A và N trùng với 2 thì MN đạt giá trị lớn nhất. khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất. Bài toán công cụ. Cho hai đường tròn (T) có tâm I, bán kính R; đường thẳng A không có điểm chung với (T). Tìm vị trí của điểm M trên (T), điểm N trên A sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d Đoạn IH cắt đường tròn (T) tại J Với M thuộc đường thẳng A, N thuộc đường tròn (T). Đẳng thức xảy ra khi M = H; N = 1. Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất.