Bài toán chọn người và đồ vật

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán chọn người và đồ vật, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán chọn người và đồ vật:
DẠNG 3. BÀI TOÁN CHỌN NGƯỜI VÀ ĐỒ VẬT. Ví dụ 1. Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Lời giải: Số cách chọn 5 người để lập tổ công tác trong đó có 1 tổ trưởng nam và không có nữ là: 1 1 3 15 14 13 C C C.. 60060. Số cách chọn ra 5 người để lập đội công tác trong đó 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam là: 1 1 3 15 14 18 C C C.. 171360. Vậy khi đó số cách thỏa mãn bài toán là: 171360 60060 111300 cách.
Ví dụ 2. Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất: a) Hai học sinh nữ và hai học sinh nam. b) Một học sinh nữ và một học sinh nam. Lời giải: a) Các trường hợp có thể xảy ra là 2 nữ 3 nam và 3 nữ 2 nam nên số cách chọn là: 2 3 3 2 10 10 10 10 C C C C.. 10800 b) Các trường hợp có thể xảy ra là: 1 nữ 4 nam, 2 nữ 3 nam, 3 nữ 2 nam, 4 nữ 1 nam nên số cách chọn là: 1 4 2 3 3 2 4 1 10 10 10 10 10 10 10 10 C C C C C C C C…. 15000.
Ví dụ 3. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề có 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. Lời giải: Ta có trong bộ đề có 5 năm và phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, dễ, trung bình) nên mỗi đề với 1 loại câu hỏi thì số câu tối đa là 3 mà số câu dễ không ít hơn 2 nên số câu dễ hoặc 2 hoặc 3.
Trường hợp 1: Nếu số câu dễ bằng 3 thì số câu khó và trung bình phải lần lượt bằng 1 nên số cách ra đề là 1 1 3 5 10 15 C C C.. 22750 Trường hợp 2: Nếu số câu dễ bằng 2 thì có 2 khả năng xảy ra. Hoặc số câu trung bình 2 và số câu khó 1 hoặc số câu trung bình bằng 1 và số câu khó bằng 2 nên số cách ra đề là 2 2 1 1 2 15 10 5 10 5 C C C C C… 34125. Như vậy thì tổng số cách ra đề là 22750 34125 56875.
Ví dụ 4. Có hai chuồng gà, chuồng 1 nhốt 3 gà trống và 4 gà mái, chuồng 2 nhốt 4 gà trống và 5 gà mái. Hỏi có bao nhiêu cách bắt một lần 3 con gà từ một trong hai chuồng đã cho, trong đó có hai gà trống và một gà mái? Lời giải: TH1: Chuồng được chọn là chuồng 1: Số cách 3 con gà ở chuồng 1 trong đó có hai gà trống và một gà mái là: 2 1 3 4 C C. 12 TH2: Chuồng được chọn là chuồng 2: Số cách 3 con gà ở chuồng 2 trong đó có hai gà trống và một gà mái là 2 1 4 5 C C. 30 Vậy theo quy tắc cộng có: 12 30 42 cách chọn.
Ví dụ 5. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu? Lời giải: Số cách chọn ra 4 viên bi trong 15 viên bi là 4 C15 Số cách chọn ra 4 viên bi trong 15 viên bi có đủ 3 màu là TH1: 2 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 1 viên bi vàng có: 2 1 1 4 5 6 C C C.. 180 cách TH2: 1 viên bi đỏ, 2 viên bi trắng và 1 viên bi vàng có: 1 2 1 4 5 6 C C C.. 240 cách TH3: 1 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 2 viên bi vàng có: 1 1 2 4 5 6 C C C.. 300 cách. Vậy có 4 15 C 180 240 300 645 cách.
Ví dụ 6. Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi: a) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau? Lời giải: a) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau vào 7 ô trống có 3 A7 cách. Xếp 3 viên bi xanh giống nhau vào 4 ô còn lại có 3 C4 Vậy có 3 3 7 4 A C. 840 cách xếp b) Xem 3 viên bi đỏ là 1 bộ, 3 viên bi xanh là 1 bộ, còn ô trống còn lại là 1 bộ có 3! cách xếp các bộ. Mà 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau nên hoán bị 3 viên bi đỏ có 3! Vậy có 3!. 3! 36 cách xếp.
Ví dụ 7. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. a) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng? b) Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Lời giải: a) Số cách tặng là số sách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự, suy ra số cách tặng là 6 9 A 60480 cách. b) Tổng 2 bộ sách bất kì đều vượt quá 6 cuốn, nên không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách. Số cách chọn 6 quyển sách từ 12 quyển là 6 12 A 665280 Số cách chọn sao cho không còn sách Văn 5 6 A 5040 Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc 4 2 6 8 A A. 20160 Số cách chọn sao cho không còn sách Họa 3 3 6 9 A A. 60480 Số cách chọn cần tìm là 665280 85680 579600.
Ví dụ 8. Một lớp có 18 nam và 12 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn làm cán sự lớp sao cho: a) Mọi người đều vui vẻ tham gia. b) Bạn A và B không thể làm việc chung với nhau. c) Bạn C và D từ chối tham giá. Lời giải: a) Chọn 5 bạn làm ban cán sự lớp khi mọi người vui vẻ tham gia sẽ có 5 30 C 142506 b) Khi có 2 bạn A, B không thể làm việc chung với nhau thì ta sẽ có 5 4 28 29 C C 2. 145782 c) Khi C, D từ chối thì sẽ còn 28 người, do đó số cách chọn là 5 28 C 98280.
Ví dụ 9. Có 5 nam và 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Hỏi: a) Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai người đối diện khác phái? b) Có bao nhiêu cách sắp xếp mà nam và nữ ngồi xen kẽ và đối diện? Lời giải: a) Có 5! 120 cách chia 5 nam, 5 nữ thành 5 cặp nam – nữ Có 5! 120 cách chọn 5 cặp ghế đối diện cho 5 cặp nam – nữ Có 2 cách xếp mỗi cặp nam nữ vào cặp ghế đã chọn. Có 5 120. 120. 2 46080 cách b) Để nam nữ ngồi xen kẽ thì nam ngồi vào 6 vị trí chẵn và nữ ngồi vào 6 vị trí lẻ mà 2 người đối diện và xen kẽ có thể đổi chỗ cho nhau nên có 2. 5!. 5! 28800.
Ví dụ 10. Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2 nữ ngồi kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách. Lời giải: Ta có 3 nam và 2 nữ ngồi cùng nhau là 2 nhóm a và b. Số cách sắp xếp trong nhóm a là 3! 6 và trong nhóm b là 2! 2 cách Trong 7 chỗ ngồi gồm 3 nam và 2 nữ nên số ghế trống là 2, nếu ta coi 3 nam và 2 nữ ngồi cạnh nhau là các nhóm riêng biệt thì số chỗ ngồi mặc định là 4, từ đó số cách sắp xếp 2 nhóm a và b vào 4 chỗ ngồi là 2 4 C 6 cách. Vậy số cách là 2 4 3!. 2!. 72.