Bài tập về tổ hợp

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài tập về tổ hợp, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài tập về tổ hợp:
Dạng 3. BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP. Bài 31. Cho tập hợp X 0 1 2 3 4 5 6 7. Có bao nhiêu tập hợp con của X thỏa mãn điều kiện: ⓵ Mỗi tập hợp con có 5 phần tử. ⓶ Mỗi tập hợp con có 5 phần tử trong đó có chữ số 2. ⓷ Mỗi tập hợp con có 5 phần tử trong đó có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ. Lời giải ⓵ Mỗi tập hợp con có 5 phần tử. Số tập hợp con có 5 phần tử là 5 8 C 56. ⓶ Mỗi tập hợp con có 5 phần tử trong đó có chữ số 2. Số tập hợp con có 5 phần tử trong đó có chữ số 2 là: 4 7 C 35. ⓷ Mỗi tập hợp con có 5 phần tử trong đó có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ. Số tập hợp con có 5 phần tử trong đó có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ là: 3 2 4 4 C C. 24.
Bài 32. Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó: ⓵ Chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? ⓶ Có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác 0)? Lời giải Gọi chữ số chẵn gồm 6 chữ số là abcdef. ⓵ Chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? Chữ số đầu tiên là chữ số lẻ nên a có 5 cách chọn. Số cần tìm là chữ số chẵn nên f có 5 cách chọn. Bộ bcde có 4 A8 cách chọn Số chữ số cần tìm là 4 8 5 5 42000. A chữ số. ⓶ Có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác 0)? Xét các số được lập có 3 chữ số lẻ, 3 chữ số chẵn. Số cách chọn là số có 6 chữ số chẵn (được tạo thành từ 3 chữ số lẻ, 3 chữ số chẵn tính cả trường hợp có chữ số 0 đứng đầu) trừ cho số có 5 chữ số chẵn (được tạo thành từ 3 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn khác 0).
Chọn 3 số lẻ, có 3 5 C 10 cách. Chọn 3 số chẵn, có 3 5 C 10 cách. Xếp thứ tự 6 chữ số vừa lấy theo hàng ngang để được số chẵn, có 3 5 360 ! cách. Xét các số lập được có 3 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn trong đó không có chữ số 0. Chọn 3 số lẻ, có 3 5 C 10 cách. Chọn thêm 2 số chẵn, có 2 4 C 6 cách. Xếp thứ tự 5 chữ số vừa lấy theo hàng ngang để được số chẵn, có 2 4 48 ! cách. Vậy có tất cả 10 10 360 10 6 48 33120 cách chọn. Bài 33. Một tổ sinh viên có 20 người, trong đó có 8 người chỉ biết tiếng Anh, 7 người chỉ biết tiếng Pháp và 5 người chỉ biết tiếng Đức. Cần lập một nhóm đi thực tế gồm 3 người biết tiếng Anh, 4 người biết tiếng Pháp, 2 người biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đi thực tế từ tổ sinh viên đó?
Lời giải Chọn 3 người biết tiếng Anh trong 8 người có 3 C8 cách chọn. Chọn 4 người biết tiếng Pháp trong 7 người có 4 C7 cách chọn. Chọn 2 người biết tiếng Đức trong 5 người có 2 C5 cách chọn. Vậy số cách chọn là 3 4 2 8 7 5 C C C 19600 cách chọn. Bài 34. Trên giá sách có 20 cuốn sách đôi một khác nhau gồm 9 cuốn Toán, 6 cuốn Lý và 5 cuốn Hóa. Có bao nhiêu cách lấy ra 10 cuốn sách sao cho trên giá sách còn lại ít nhất một cuốn sách mỗi loại? Lời giải Có tất cả 10 C20 cách lấy 10 cuốn sách. Số cách chọn sao cho không còn cuốn Hóa nào là 5 C15 cách. Số cách chọn sao cho không còn cuốn Lý nào là 4 C14 cách. Số cách chọn sao cho không còn cuốn Toán nào là 1 C11. Vậy số cách chọn thỏa mãn đề bài là 10 5 4 1 20 15 14 11 C C C C 180741 cách.
Bài 35. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Có bao nhiêu cách lập một đoàn công tác gồm 3 người trong đó có cả nam cũng như nữ và có cả nhà toán học cũng như nhà vật lý? Lời giải Chia làm 3 trường hợp: Trường hợp 1: Số cách chọn ra 1 toán học nam, 1 toán học nữ, 1 vật lý nam: 5 3 4 60 cách. Trường hợp 2: Số cách chọn ra 2 toán học nữ, 1 vật lý nam: 2 1 3 4 C C. 12 cách. Trường hợp 3: Số cách chọn ra 1 toán học nữ, 2 vật lý nam: 1 2 3 4 C C. 18 cách. Vậy có tất cả 90 cách chọn. Bài 36. Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho: ⓵ Có đúng 2 nam trong 5 người đó. ⓶ Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó. Lời giải ⓵ Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
Chọn 5 người trong đó có đúng 2 nam có 2 3 10 10 C C. 5400 cách chọn. ⓶ Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó. Chia làm các trường hợp: Trường hợp 1: Chọn 2 nam và 3 nữ có 5400 cách chọn. Trường hợp 2: Chọn 3 nam và 2 nữ có 3 2 10 10 C C. 5400 cách chọn. Trường hợp 3: Chọn 4 nam và 1 nữ có 4 1 10 10 C C. 2100 cách chọn. Vậy có tất cả 5400 5400 2100 12900 cách chọn. Bài 37. Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau ⓵ Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ. ⓶ Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ. Lời giải ⓵ Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ.
Số cách chọn tổ 6 người: 6 C14. Số cách chọn tổ 6 người chỉ có nam: 6 C6. Số cách chọn tổ 6 người chỉ có nữ: 6 C8. Số cách chọn tổ 6 người có cả nam lẫn nữ: 6 6 6 14 6 8 C C C 2974 cách. ⓶ Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ. Trước hết ta chọn tổ 6 người trong đó An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ. Trường hợp 1: An và Bình đều không có mặt, có 6 C12 cách. Trường hợp 2: An có mặt, Bình không có mặt trong tổ công tác. Khi đó tổ còn 5 người được chọn từ 12 người, có 5 C12 cách. Trường hợp 3: Bình có mặt, An không có mặt. Tương tự TH2 có 5 C12 cách. Trong tổ 6 người có 6 cách chọn tổ trưởng.
Vậy số cách thỏa mãn là: 6 5 5 12 12 12 6 15048 CCC cách. Bài 38. Từ 24 học sinh giỏi Toán gồm 16 nam, 8 nữ người ta muốn lập một đội tuyển gồm 7 người. Có bao nhiêu cách thành lập nếu: ⓵ Đội tuyển có nhiều nhất 2 nữ. ⓶ Đội tuyển có ít nhất 3 nam. ⓷ Nam sinh A và nữ sinh B phải cùng được hoặc cùng không được chọn vào đội tuyển. ⓸ Nam sinh X và nữ sinh Y không thể cùng được chọn vào đội tuyển. Lời giải ⓵ Đội tuyển có nhiều nhất 2 nữ. Số cách lập đội tuyển có 2 nữ: 2 5 8 16 C C Số cách lập đội tuyển có 1 nữ: 1 6 8 16 C C Số cách lập đội tuyển không có nữ: 7 C16 Vậy số cách lập đội tuyển có nhiều nhất 2 nữ: 2 5 1 6 7 8 16 8 16 16 C C C C C 197808 cách. ⓶ Đội tuyển có ít nhất 3 nam. Số cách lập đội tuyển có 3 nam: 3 4 16 8 C C. cách. Số cách lập đội tuyển có 4 nam: 4 3 16 8 C C. cách.
Số cách lập đội tuyển có 5 nam: 5 2 16 8 C C. cách. Số cách lập đội tuyển có 6 nam: 6 1 16 8 C C. cách. Số cách lập đội tuyển có 7 nam: 7 C16 cách. Vậy số cách lập đội tuyển có ít nhất 3 nam: 3 4 4 3 5 2 6 1 7 16 8 16 8 16 8 16 8 16 C C C C C C C C C 338928 cách. ⓷ Nam sinh A và nữ sinh B phải cùng được hoặc cùng không được chọn vào đội tuyển. Trường hợp 1: Nam sinh A và nữ sinh B cùng được vào đội tuyển: Chọn nam sinh A và nữ sinh B có 1 cách, Chọn 5 người còn lại có 5 C22 cách. Trường hợp 2: Nam sinh A và nữ sinh B cùng không được vào đội tuyển: Chọn 7 người từ 22 người có 7 C22 cách. Vậy có 5 7 22 22 C C 196878 cách. ⓸ Nam sinh X và nữ sinh Y không thể cùng được chọn vào đội tuyển. Nam sinh X và nữ sinh Y không thể cùng được chọn vào đội tuyển, có 3 trường hợp: Trường hợp 1: Cả hai không vào đội tuyển, có 7 C22 cách.
Trường hợp 2: X vào, Y không vào đội tuyển: Chọn X có 1 cách, chọn 6 người còn lại có 6 C22 cách. Trường hợp 3: Y vào, X không vào đội tuyển: Chọn Y có 1 cách, chọn 6 người còn lại có 6 C22 cách. Vậy có 766 22 22 22 CCC 319770 cách. Bài 39. Có 8 quả cầu xanh, 4 quả cầu vàng, 6 quả cầu đỏ (các quả cầu đôi một khác nhau). Có bao nhiêu cách lấy ra 6 quả cầu trong mỗi trường hợp sau đây: ⓵ Không có yêu cầu gì thêm. ⓶ Phải có 2 quả cầu xanh, 2 quả cầu vàng, 2 quả cầu đỏ. ⓷ Phải có đúng hai quả cầu đỏ. ⓸ Phải có ít nhất hai quả cầu đỏ. ⓹ Phải có đủ 3 màu. Lời giải ⓵ Không có yêu cầu gì thêm. Số cách lấy ra 6 quả cầu từ 18 quả cầu 6 18 C 18564 cách. ⓶ Phải có 2 quả cầu xanh, 2 quả cầu vàng, 2 quả cầu đỏ. Số cách lấy 6 quả cầu trong đó có 2 quả xanh, 2 quả vàng, 2 quả đỏ là 222 8 4 6 CCC 2520 cách. ⓷ Phải có đúng hai quả cầu đỏ.
Chọn 2 quả cầu đỏ có 2 C6 cách, Chọn 4 quả cầu còn lại từ các quả cầu xanh và vàng có 4 C12 cách. Vậy có 2 4 6 12 C C. 7425 cách. ⓸ Phải có ít nhất hai quả cầu đỏ. Số cách chọn 6 quả cầu không có cầu đỏ: 6 C12 cách. Số cách chọn 6 quả cầu chỉ có 1 cầu đỏ: 1 5 6 12 C C. cách. Số cách chọn 6 quả cầu trong đó có ít nhất 2 quả cầu đỏ: 6 6 1 5 18 12 6 12 C C C C. 12888 cách. ⓹ Phải có đủ 3 màu. Số cách chọn 6 quả cầu không có quả xanh: 6 C10 cách. Số cách chọn 6 quả cầu không có quả vàng: 6 C14 cách. Số cách chọn 6 quả cầu không có quả đỏ: 6 C12 cách. Số cách chọn 6 quả cầu toàn màu xanh: 6 C8 cách. Số cách chọn 6 quả cầu toàn quả đỏ: 6 C6 cách. Vậy số cách chọn 6 quả cầu có đủ 3 màu: 6 6 6 6 6 6 18 10 14 12 8 6 C C C C C C 14456 cách. Bài 40. Một tập hợp có 100 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có nhiều hơn 2 phần tử?