Bài tập về chỉnh hợp

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài tập về chỉnh hợp, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài tập về chỉnh hợp:
Dạng 2. BÀI TẬP VỀ CHỈNH HỢP. Bài 16. Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba? Lời giải Mỗi cách chọn 3 người vào vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba là một chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử. Vậy có 3 8 A 336 kết quả có thể xảy ra. Bài 17. Có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành chi đoàn gồm 3 người, trong đó có một bí thư, một phó bí thư, một ủy viên, biết rằng trong chi đoàn có 20 đoàn viên? Lời giải Gọi D là tập hợp 20 đoàn viên đã cho.
Khi đó mỗi ban chấp hành là một chỉnh hợp chập 3 của 20 phần tử của D. Do đó số cách bầu là 3 20 20 20 19 18 6840 17 ! A Bài 18. Từ 6 chữ số 9 8 7 6 5 4 cần lập ra các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Hỏi có bao nhiêu số như thế. Hãy tính tổng các số tự nhiên đó. Lời giải Giả sử x abc là một số thỏa mãn các yêu cầu của đề bài. Khi đó a b c chính là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử của tập A 4 5 6 7 8 9. Bởi vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là 3 6 A 6 5 4 120. Ta chia 120 số tự nhiên nói trên thành 60 cặp, mỗi cặp gồm 2 số tự nhiên x x có dạng x abc và x a b c sao cho a a b b c c 13 (chẳng hạn với x 847 thì tồn tại duy nhất x 596).
Vì có 60 cặp số x x mà x x 1443 nên tổng các số tự nhiên nói trên là 60 1443 86580. Bài 19. Một lớp có 25 học sinh nam và 13 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra một học sinh làm lớp trưởng, một học sinh làm lớp phó và một học sinh làm thủ quỹ. ⓵ Hỏi có bao nhiêu cách chọn? ⓶ Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu lớp trưởng phải là học sinh nam? Lời giải ⓵ Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Ba học sinh, trong đó một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ, chính là một chỉnh hợp chập 3 của 38 phần tử của tập hợp các học sinh trong lớp. Do đó số cách chọn là 3 38 A 50616 cách. ⓶ Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu lớp trưởng phải là học sinh nam? Trước hết chọn học sinh nam làm lớp trưởng có 25 cách.
Sau đó chọn hai học sinh cho hai chức danh còn lại, số cách chọn là 2 37 A 1332 cách. Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là 25 1332 33300. Bài 20. Trong một ban chấp hành gồm có 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ : Bí thư, Phó Bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn? Lời giải Mỗi cách chọn 3 người vào các chức vụ : Bí thư, Phó Bí thư, Ủy viên thường vụ là một chỉnh hợp chập 3 của 7. Vậy có 3 7 A 210 cách chọn. Bài 21. Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm n điểm. Hỏi có bao nhiêu véctơ khác véctơ 0 mà có điểm đầu và điểm cuối đều thuộc P. Lời giải hợp chập 2 của n. Vậy có 2 1 A n n n véctơ thỏa mãn yêu cầu.
Bài 22. Với các chữ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong mỗi trường hợp sau đây: ⓵. n có 5 chữ số đôi một khác nhau. ⓶. có 5 chữ số chẵn đôi một khác nhau. ⓷. n có 5 chữ số lẻ đôi một khác nhau. Lời giải ⓵. n có 5 chữ số đôi một khác nhau. Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 là một chỉnh hợp chập 5 của 9. Vậy có 5 9 A 15120 số thỏa mãn yêu cầu. ⓶. có 5 chữ số chẵn đôi một khác nhau. Giả sử số cần tìm có dạng abcde a 0. Chọn e 2 4 6 8 có 4 cách chọn. Chọn các chữ số còn lại có 4 A8. Vậy có 4 8 4 6720 A số. ⓷. n có 5 chữ số lẻ đôi một khác nhau. Giả sử số cần tìm có dạng abcde a 0. Chọn e 1 3 5 7 9 có 5 cách chọn. Chọn các chữ số còn lại có 4 A8. Vậy có 4 8 5 8400 A số.
Bài 23. Có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n gồm 4 chữ số có nghĩa đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác không) trong mỗi trường hợp sau đây: ⓵. n là số lẻ. ⓶. n là số chẵn. ⓷. n là bội số của 5. ⓸ n 2007. ⓹. Một trong hai chữ số đầu tiên của n là 9. Lời giải Gọi số có 4 chữ số đôi một khác nhau là abcd. ⓵. n là số lẻ. Vì n là số lẻ nên d 1 3 5 7 9 có 5 cách chọn d. a a d 0, nên có 8 cách chọn a. Số cách bd là số chỉnh hợp chập 2 của 8 phần tử, có 2 A8 cách chọn. Số các số có 4 chữ số khác nhau và là số lẻ là: 2 8 5 8 2240 A ⓶. n là số chẵn. Ta lập số có 4 chữ số khác nhau. Vì a 0 nên có 9 cách chọn a. Số cách chọn b c d là 3 A9. Do đó có 3 9 9 4536 A số có 4 chữ số khác nhau. Theo phần ⓵ ta suy ra có 4536 2240 2296 số có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn. ⓷. n là bội số của 5.
Vì n là bội của 5 0 5 d. Trường hợp 1: d 0 có một cách chọn d. Khi đó có 3 A9 cách chọn 3 chữ số còn lại. Do đó có 3 9 1 504 A số có tận cùng là 0. Trường hợp 2: d 5 có một cách chọn d. a a d 0, suy ra có 8 cách chọn a. Có 2 A8 cách chọn hai chữ số còn lại. Do đó có 2 8 1 8 448 A số có tận cùng là 5. Kết hợp lại ta có 504 448 952 số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. ⓸. n 2007. n a 2007 2 có 8 cách chọn a. Có 3 A9 cách chọn 3 chữ số còn lại. Do đó có 3 9 8 4032 A số thỏa mãn. ⓹. Một trong hai chữ số đầu tiên của n là 9. Một trong hai chữ số đầu tiên của n là 9. Trường hợp 1: a 9 có 3 A9 cách chọn 3 chữa số còn lại do đó có 3 9 1 504 A số. Trường hợp 2: b a a b 9 0 có 8 cách chọn a. Có 2 A8 cách chọn hai chữ số còn lại, suy ra 2 8 8 448 A số.
Kết hợp lại có 504 448 952 số thỏa mãn. Bài 24. Từ 26 chữ cái (5 nguyên âm, 21 phụ âm) có thể lập được bao nhiêu mật khẩu gồm 9 chữ cái khác nhau trong mỗi trường hợp sau đây: ⓵. Mật khẩu bắt đầu bằng một nguyên âm. ⓶. Mật khẩu có dạng NPPNPPNPP (N là nguyên âm, P là phụ âm) ⓷. Trong mật khẩu có đúng 3 nguyên âm và các nguyên âm luôn đứng kề nhau. ⓸. Trong mật khẩu có ít nhất 3 nguyên âm và các nguyên âm luôn đứng kề nhau. Lời giải ⓵. Mật khẩu bắt đầu bằng một nguyên âm. Có 5 cách chọn nguyên âm để bắt đầu mật khẩu. Có 8 A25 cách chọn 8 kí tự còn lại. Theo quy tắc nhân có 8 25 5A cách đặt mật khẩu bắt đầu bằng nguyên âm. ⓶. Mật khẩu có dạng NPPNPPNPP (N là nguyên âm, P là phụ âm) Mật khẩu dạng NPPNPPNPP (N là nguyên âm, P là phụ âm) có được bằng cách chọn ra và sắp xếp vị trí cho 3 nguyên âm từ 5 nguyên âm và chọn ra và sắp xếp vị trí cho 6 phụ âm từ 21 phụ âm. Có 3 A5 cách chọn và sắp xếp 3 nguyên âm, có 6 A21 cách chọn và sắp xếp 6 phụ âm.
Theo quy tắc nhân có 3 6 5 21 A A. cách đặt mật khẩu. ⓷. Trong mật khẩu có đúng 3 nguyên âm và các nguyên âm luôn đứng kề nhau. Đầu tiên ta chọn ra 6 phụ âm và sắp xếp vị trí cho chúng, có 6 A21 cách. Sáu phụ âm sẽ tạo ra 7 vị trí để sắp xếp 3 nguyên âm (đứng liền nhau- coi như một khối). Có 3 C5 cách chọn 3 nguyên âm và có 3! cách xếp nguyên âm trong mỗi khối. Vậy có 3 6 3 6 5 21 5 21 7 3 7.C. ! A A A cách đặt mật khẩu. ⓸. Trong mật khẩu có ít nhất 3 nguyên âm và các nguyên âm luôn đứng kề nhau. Trường hợp 1: Mật khẩu có 3 nguyên âm, theo phần c có 3 6 5 21 7A A. cách. Trường hợp 2: Mật khẩu có 4 nguyên âm làm tương tự phần ⓷ ta có 4 5 5 21 6 A A cách. Trường hợp 3: Mật khẩu có 5 nguyên âm, làm tương tự phần ⓷ ta có 5 4 5 21 5 A A. Theo quy tắc cộng ta có 3 6 4 5 5 4 5 21 5 21 5 21 7 6 5 A A A A A A. cách đặt mật khẩu. Bài 25. Ở một trường nọ, khi tổ chức kỳ thi tốt nghiệp ra trường cho học sinh, người ta muốn chọn 6 môn trong 9 môn học A, B, C, D, E, F, G, H, I để tổ chức thi trong 3 ngày liên tiếp, mỗi ngày thi 2 môn trong hai buổi sáng, chiều. Hỏi có bao nhiêu cách xếp lịch thi (tức là xếp thứ tự 6 môn trong 9 môn học) nếu: ⓵ Không có yêu cầu gì thêm.
Bắt buộc phải có môn C. ⓷ Bắt buộc phải có môn C và môn C phải tổ chức thi đầu tiên. ⓸ Bắt buộc phải có ba môn thi A, B, F và môn F phải được tổ chức thi cuối cùng. ⓹ Bắt buộc phải có 2 môn D, E và môn E phải được tổ chức thi liền sau môn D. ⓺ Không chấp nhận tổ chức thi cả hai môn A, H trong cùng 1 kỳ thi. Lời giải ⓵ Không có yêu cầu gì thêm. Ta có 6 9 A 60480 cách chọn ra 6 môn thi từ 9 môn thi và sắp xếp vào 6 buổi thi. ⓶ Bắt buộc phải có môn C. Vì bắt buộc có môn C nên có 5 C8 cách chọn thêm 5 môn thi nữa. Sau đó ta sắp xếp 6 môn thi vào 6 buổi thi, có 6! cách xếp. Theo quy tắc nhân có 5 8 6 40320 !.C cách xếp lịch thi. ⓷ Bắt buộc phải có môn C và môn C phải tổ chức thi đầu tiên. Vì môn C thi đầu tiên nên có 5 A8 cách chọn và sắp xếp lịch thi cho 5 môn còn lại. Do đó có 5 8 A 6720 cách sắp xếp lịch thi. ⓸ Bắt buộc phải có ba môn thi A, B, F và môn F phải được tổ chức thi cuối cùng. Bắt buộc phải có ba môn thi A, B, F và môn F phải được tổ chức thi cuối cùng Có 3 C6 cách chọn thêm 3 môn thi nữa. Vì môn F tổ chức thi cuối cùng nên có 5! cách sắp xếp lịch thi cho 5 môn còn lại.